Βρείτε την αντίσταση που φαίνεται μεταξύ δύο οποιοδήποτε κορυφών του τετραέδρου. Όλες οι αντιστάσεις είναι ίσες με r. Από το βιβλίο του Serway.
Απάντηση
α' τρόπος
Έστω ότι συνδέουμε μια πηγή στα άκρα της κάτω ακμής όπως στο σχήμα.
Τότε αν βρίσκαμε την ισοδύναμη αντίσταση της κάτω ακμής R*,θα ίσχυε: Ε=iR*.
Ομοίως στην κάτω δεξιά κορυφή
Επίσης παίρνοντας το άθροισμα των τάσεων στο όλο τρίγωνο παίρνω
ομοίως στο βρόχο που φτιάχνεται από το αριστερό τριγωνάκι
ομοίως στο βρόχο του κάτω τριγώνου
Η επίλυση του συστήματος δεν είναι ότι πιο εύκολο καθώς είναι ένα σύστημα 5χ5. Εμείς το λύσαμε με γραμμοπράξεις.
β΄ τρόπος
Συνδέουμε την πηγή στα άκρα α και γ.
Oι αντιστάσεις αβ και αδ συνδέονται παράλληλα γιατί τα άκρα β & δ έχουν το ίδιο δυναμικό λόγω συμμετρίας. Άρα και η αντίσταση βδ δε διαρρέεται από ρεύμα αφού δεν υπάρχει διαφορά δυναμικού.
Επίσης και οι αντιστάσεις γδ και βγ συνδέονται παράλληλα λόγω συμμετρίας. Άρα το κύκλωμα γίνεται:
Αντικαθιστώντας τις ισοδύναμες αντιστάσεις παίρνω
Οι θαλασσιές αντιστάσεις είναι r/2. Οπότε οι αβ και οι βγ προστίθενται (σε σειρά).
Άρα η τελική αντίσταση προκύπτει r/2.
Απάντηση
α' τρόπος
Έστω ότι συνδέουμε μια πηγή στα άκρα της κάτω ακμής όπως στο σχήμα.
Τότε αν βρίσκαμε την ισοδύναμη αντίσταση της κάτω ακμής R*,θα ίσχυε: Ε=iR*.
Τώρα αν πάρουμε ένα κλειστό βρόχο στο ορθογώνιο του σχήματος θα παίρναμε: Ε=i3r
Συνεπώς αν εκφράσουμε το i3 συναρτήσει του i ότι περισσεύει θα διαμορφώνει την ολική αντίσταση R*.
Από το νόμο του Κirchoff στην κάτω αριστερή κορυφή έχουμε:
i=i1+i2+i3
Ομοίως στην κάτω δεξιά κορυφή
i=i4+i3+i2+i5
Επίσης παίρνοντας το άθροισμα των τάσεων στο όλο τρίγωνο παίρνω
-i1r-i4r+i3r=0
ή i1+i4=i3
ομοίως στο βρόχο που φτιάχνεται από το αριστερό τριγωνάκι
-i1r-i5r+i2r=0
ή i1+i5=i2
ομοίως στο βρόχο του κάτω τριγώνου
-i2r-(i2+i5)r+i3r=0
ή 2i2+i5=i3
από το σύστημα των 5 εξισώσεων υπολογίζουμε το i3
και παίρνουμε τη λύση R*=r/2.
Η επίλυση του συστήματος δεν είναι ότι πιο εύκολο καθώς είναι ένα σύστημα 5χ5. Εμείς το λύσαμε με γραμμοπράξεις.
β΄ τρόπος
Συνδέουμε την πηγή στα άκρα α και γ.
Oι αντιστάσεις αβ και αδ συνδέονται παράλληλα γιατί τα άκρα β & δ έχουν το ίδιο δυναμικό λόγω συμμετρίας. Άρα και η αντίσταση βδ δε διαρρέεται από ρεύμα αφού δεν υπάρχει διαφορά δυναμικού.
Επίσης και οι αντιστάσεις γδ και βγ συνδέονται παράλληλα λόγω συμμετρίας. Άρα το κύκλωμα γίνεται:
Αντικαθιστώντας τις ισοδύναμες αντιστάσεις παίρνω
Οι θαλασσιές αντιστάσεις είναι r/2. Οπότε οι αβ και οι βγ προστίθενται (σε σειρά).
Άρα η τελική αντίσταση προκύπτει r/2.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου